Çubuk Üzerindeki Noktaların Uzunluğu: CD Kaç Cm?

Hey matematik meraklıları! Bugün sizlerle eğlenceli bir geometri problemi çözeceğiz. Elimizde 48 cm uzunluğunda bir [AB] çubuğu var ve bu çubuğun üzerine C ve D noktalarını belirli oranlarda yerleştireceğiz. Hazırsanız, bu noktaların konumlarını ve aralarındaki mesafeyi adım adım inceleyelim!

C Noktasının Konumu ve Hesaplaması

Arkadaşlar, öncelikle C noktasının [AB] çubuğu üzerindeki yerini belirleyelim. Problemde bize |AC| = |CB| olduğu söyleniyor. Bu ne demek oluyor? C noktası, tam olarak AB çubuğunun orta noktası demek! Yani, AB çubuğunu iki eşit parçaya ayırıyor. Çubuğun toplam uzunluğu 48 cm olduğuna göre, C noktasının A'ya olan uzaklığı ile C noktasının B'ye olan uzaklığı eşit ve her biri çubuğun yarısı kadar olacak. Mathematically speaking, bu şu anlama geliyor: AC = CB = AB / 2. Verilen bilgilere göre AC = CB = 48 cm / 2 = 24 cm. Yani, C noktası A'dan 24 cm uzakta bulunuyor ve aynı zamanda B'den de 24 cm uzakta bulunuyor. Bu basit oran, C noktasının konumunu net bir şekilde ortaya koyuyor ve ilerleyen adımlarımız için sağlam bir temel oluşturuyor. Bu ilk adımda, çubuğun yarısını işaretlemiş olduk, ne kadar kolay değil mi?

D Noktasının Konumu ve Oranları

Şimdi gelelim işin biraz daha incelikli kısmına: D noktasının konumu. Problem bize |BD| = (3/7) |DA| ilişkisini veriyor. Bu oran, D noktasının AB çubuğu üzerindeki yerini belirlemede kilit rol oynuyor. Dikkat etmemiz gereken nokta şu: Bu oran, D noktasının A ve B'ye olan uzaklıklarının birbirine oranı değil, daha çok çubuğun o noktaya kadar olan kısımlarının oranını ifade ediyor. Yani, B'den D'ye olan mesafenin, D'den A'ya olan mesafenin 3/7'si olduğunu söylüyor. Bu ilişkiyi daha iyi anlamak için şöyle düşünebiliriz: Eğer DA'nın uzunluğu 7 birim ise, BD'nin uzunluğu 3 birim olur. Toplamda, bu iki mesafe AB çubuğunun tamamını oluşturuyor. Yani, BD + DA = AB. Bu eşitliği ve verilen oranı kullanarak DA ve BD'nin uzunluklarını bulabiliriz. Oranı 3:7 olarak düşünürsek, çubuğun tamamı bu oranın toplamı olan 3 + 7 = 10 birime denk gelir. O halde, çubuğun tamamı 10 birim ve bu 10 birimlik uzunluk gerçekte 48 cm'ye eşittir. Bu durumda, 1 birim = 48 cm / 10 = 4.8 cm olur. Şimdi BD ve DA'yı kolayca hesaplayabiliriz: BD = 3 birim * 4.8 cm/birim = 14.4 cm ve DA = 7 birim * 4.8 cm/birim = 33.6 cm. Kontrol edelim: BD + DA = 14.4 cm + 33.6 cm = 48 cm. Harika, D noktasının konumunu da başarıyla belirledik. Bu oranlar ilk bakışta kafa karıştırıcı gibi görünse de, çubuğun tamamını bir bütün olarak düşünüp oranı paylaştırdığımızda ne kadar basit olduğunu görebiliyoruz, değil mi?

CD Uzunluğunun Hesaplanması

Arkadaşlar, şimdi en heyecanlı kısma geldik: [CD] uzunluğunu hesaplama zamanı! C noktasının A'ya olan uzaklığını 24 cm olarak bulmuştuk. D noktasının ise A'ya olan uzaklığını 33.6 cm olarak hesapladık. Şimdi CD mesafesini bulmak için bu iki değeri kullanabiliriz. D noktası A'dan 33.6 cm uzaktayken, C noktası A'dan 24 cm uzakta. Bu durumda, C ve D noktaları arasındaki mesafe, D'nin A'ya olan uzaklığından C'nin A'ya olan uzaklığının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, CD = DA - AC. Yerine değerleri koyarsak: CD = 33.6 cm - 24 cm = 9.6 cm. Bekleyin bir dakika, seçeneklerde böyle bir değer yok! Acaba bir yerde hata mı yaptık? Yoksa D noktasının konumunu A'dan mı yoksa B'den mi hesapladığımıza dikkat etmemiz mi gerekiyor? Gelin bir daha gözden geçirelim.

D Noktasının Konumunu Yeniden Değerlendirme

Evet arkadaşlar, sanırım D noktasının konumunu hesaplarken bir detayı gözden kaçırdık. Oran bize |BD| = (3/7) |DA| diyordu. Biz bu oranı 3:7 olarak paylaştırdık ve D noktasının A'ya olan uzaklığını (DA) hesapladık. Ancak D noktasının konumu, A'dan olan uzaklığı ile de ifade edilebilir. Eğer DA = 7x ve BD = 3x dersek, toplam uzunluk AB = DA + BD = 7x + 3x = 10x olur. Bu 10x, 48 cm'ye eşit. Yani x = 4.8 cm. Bu durumda DA = 7 * 4.8 = 33.6 cm ve BD = 3 * 4.8 = 14.4 cm. Bu hesaplamalarımız doğru. Peki, C noktası tam ortada, yani A'dan 24 cm uzakta. D noktası ise A'dan 33.6 cm uzakta. O zaman CD mesafesi yine DA - AC = 33.6 - 24 = 9.6 cm oluyor. Hala seçeneklerde yok. Hmm, acaba oranı yanlış mı yorumladık? Belki de D noktası AB çubuğu üzerinde A'ya daha yakın bir konumdadır?

Bir de D noktasının B'ye olan uzaklığına odaklanalım. BD = 14.4 cm. Bu ne anlama geliyor? D noktası, B'den 14.4 cm uzakta. C noktası ise B'den 24 cm uzakta. Eğer D noktası B'ye daha yakınsa, o zaman C ve D arasındaki mesafe, C'nin B'ye olan uzaklığından D'nin B'ye olan uzaklığının çıkarılmasıyla bulunur. Yani, CD = CB - BD. CB = 24 cm ve BD = 14.4 cm. Bu durumda CD = 24 cm - 14.4 cm = 9.6 cm. Yine aynı sonuca ulaştık! Demek ki problemde verilen oranlar veya bizim yorumumuzda bir sıkıntı var. Ya da seçeneklerde olmayan bir cevap çıkıyor.

Alternatif Yorum ve Çözüm Yolları

Arkadaşlar, bazen sorularda verilen oranlar farklı şekillerde yorumlanabilir. Özellikle |BD| = (3/7) |DA| ifadesi, D noktasının AB doğrusu üzerindeki konumunu belirlerken kafa karıştırıcı olabilir. Eğer D noktasının A'ya olan uzaklığı DA ve B'ye olan uzaklığı DB ise, problem bize DB = (3/7) DA diyor. Toplam uzunluk AB = DA + DB = 48 cm. Şimdi bu iki denklemi kullanarak DA ve DB'yi bulabiliriz. İkinci denklemde DB yerine (3/7)DA yazarsak: DA + (3/7)DA = 48 cm. Paydaları eşitleyelim: (7/7)DA + (3/7)DA = 48 cm. Bu da (10/7)DA = 48 cm demektir. Buradan DA = 48 * (7/10) = 33.6 cm olarak bulunur. Ve DB = 48 - 33.6 = 14.4 cm. Bu hesaplamalarımız öncekiyle aynı. Demek ki D noktasının A'ya uzaklığı 33.6 cm, B'ye uzaklığı ise 14.4 cm.

C noktası ise tam ortada, yani A'dan 24 cm uzaklıkta ve B'den 24 cm uzaklıkta. Şimdi CD mesafesini bulalım. D noktasının A'ya uzaklığı 33.6 cm. C noktasının A'ya uzaklığı 24 cm. Bu durumda D noktası C'den daha uzakta kalıyor (A'ya göre). Yani CD = DA - AC = 33.6 - 24 = 9.6 cm. Yine aynı sonuç. Acaba soruda bir hata mı var, yoksa ben mi bir şeyi yanlış anlıyorum?

Seçeneklere Göz Atalım: Belki de Cevap Farklı Bir Yorumdan Çıkıyor!

Seçeneklere bir göz atalım arkadaşlar: A) 30, B) 24, C) 18, D) 6. Bizim bulduğumuz 9.6 cm bu seçeneklerde yok. Bu durumda, sorunun kendisinde veya seçeneklerde bir hata olabilir. Ancak, bazen bu tür sorularda verilen oranlar biraz farklı yorumlanabilir. Örneğin, |BD| = (3/7) |DA| ifadesi, D noktasının AB çubuğunu 3'e 7 oranında böldüğü şeklinde de anlaşılabilir. Yani, AB çubuğunu toplam 3+7=10 parçaya ayırdığımızı düşünürsek, D noktası bu parçalardan birine denk gelir. Ancak bu yorum da bizi aynı sonuca götürür. DA = (7/10) * 48 = 33.6 cm ve BD = (3/10) * 48 = 14.4 cm.

Bir de tam tersini düşünelim. Belki de |DA| = (3/7) |BD| şeklinde bir oran verilmek istenmiştir? Eğer böyle olsaydı, DA + BD = 48 ve DA = (3/7)BD olurdu. Yerine koyarsak: (3/7)BD + BD = 48. (10/7)BD = 48. BD = 48 * (7/10) = 33.6 cm. DA = 48 - 33.6 = 14.4 cm. Bu durumda D noktası B'den 33.6 cm uzakta, A'dan ise 14.4 cm uzakta olurdu. C noktası A'dan 24 cm uzakta. D noktası A'dan 14.4 cm uzakta olduğuna göre, CD = AC - AD = 24 - 14.4 = 9.6 cm. Yine aynı sonuç!

Son Bir Kez Kontrol ve Olası Bir Hata

Arkadaşlar, tekrar baştan alalım. AB = 48 cm. C noktası orta nokta, yani AC = CB = 24 cm. D noktası için |BD| = (3/7)|DA|. Toplam AB = DA + BD = 48. Bu iki denklemi birleştirelim: DA + (3/7)DA = 48 => (10/7)DA = 48 => DA = 33.6 cm. BD = 48 - 33.6 = 14.4 cm. Şimdi C ve D noktalarının A'dan uzaklıklarını karşılaştıralım:

• AC = 24 cm
• AD = 33.6 cm

D noktası, C noktasından daha uzakta (A'ya göre). Dolayısıyla CD mesafesi:

CD = AD - AC = 33.6 cm - 24 cm = 9.6 cm.

Şimdi seçeneklere tekrar bakalım: A) 30, B) 24, C) 18, D) 6. Bizim bulduğumuz 9.6 cm hiçbirine uymuyor. Bu durumda, sorunun orijinal metninde veya seçeneklerinde bir hata olması kuvvetle muhtemeldir. Ancak, eğer soruda bir yazım hatası olsaydı ve oran |BD| = 3|DA| veya |BD| = (3/4)|DA| gibi olsaydı sonuç değişebilirdi. Veya belki de D noktası AB çubuğunu 3'e 4 oranında bölüyordu, yani BD = (3/7) AB gibi?

Eğer D noktası AB'yi 3'e 4 oranında bölüyorsa, yani BD = (3/7) AB olsaydı:

BD = (3/7) * 48 = 144/7 ≈ 20.57 cm.

DA = AB - BD = 48 - 20.57 = 27.43 cm.

Bu durumda CD = |AC - AD| = |24 - 27.43| = 3.43 cm. Yine seçeneklerde yok.

Eğer oran |BD| = (3/4)|DA| olsaydı:

DA + BD = 48 => DA + (3/4)DA = 48 => (7/4)DA = 48 => DA = 48 * (4/7) = 192/7 ≈ 27.43 cm.

BD = 48 - 27.43 = 20.57 cm.

CD = |AC - AD| = |24 - 27.43| = 3.43 cm. Yine yok.

Arkadaşlar, bu tür durumlarda en doğru yaklaşım, soruyu hazırlayan kişiye danışmaktır. Ancak, eğer bir sınavda olsaydık ve bu seçenekler verilseydi, en yakın cevabı veya sorunun mantığına en uygun olabilecek bir yorumu düşünmek gerekirdi. Fakat matematiksel olarak hesaplamalarımız tutarlı ve 9.6 cm sonucunu veriyor.

Önemli Not: Sorunun orijinalinde bir yazım hatası olmadığı varsayılarak, bizim yaptığımız hesaplamalara göre doğru cevap 9.6 cm'dir. Ancak bu seçeneklerde yer almadığı için, soruda bir eksiklik veya hata olduğunu düşünüyoruz. Eğer sorunun orijinali farklıysa, lütfen belirtin ki doğru çözümü bulabilelim. Bu tür problemler, dikkatli okuma ve oranları doğru yorumlama becerisini geliştirir, bu yüzden üzerinde durmaya değer!