Maîtrisez Les Variations De F(x) = 6/(4x² + 4)

Dec 8, 2025 by Admin 47 views

Salut les amis matheux ! Aujourd'hui, on va se plonger dans un sujet super fondamental en mathématiques : l'étude des variations d'une fonction. Non seulement c'est un classique des examens, mais c'est aussi incroyablement utile pour comprendre comment les phénomènes évoluent dans le monde réel. On va s'attaquer à une fonction bien spécifique : f(x) = 6 / (4x² + 4). Accrochez-vous, car on va décortiquer chaque étape pour que vous puissiez non seulement résoudre ce problème, mais aussi maîtriser la méthode pour n'importe quelle autre fonction. Notre objectif principal est de déterminer le sens de variation de la fonction f sur son ensemble de définition, qui est ici l'ensemble des nombres réels, ℝ. On va voir ensemble comment identifier où la fonction monte, où elle descend, et quels sont ses points culminants ou les plus bas. Cette analyse est cruciale pour bien visualiser le comportement d'une fonction, que ce soit pour des applications en physique, en économie, ou même en ingénierie. C'est une compétence qui vous servira énormément, croyez-moi ! Pour réussir cette étude, on va passer par la case dérivée, qui est l'outil magique pour nous révéler toutes ces informations précieuses. On abordera également les limites de la fonction aux bornes de son domaine pour avoir une vue d'ensemble complète et précise. Ne vous inquiétez pas si le calcul différentiel vous semble un peu intimidant au début ; nous allons le rendre aussi clair et accessible que possible. Le but est que vous sortiez de cette lecture avec une compréhension solide et la confiance nécessaire pour affronter des problèmes similaires.

Pourquoi l'étude des variations est-elle si importante ?

L'étude des variations de fonction est bien plus qu'un simple exercice scolaire, mes chers amis. C'est une compétence essentielle qui nous permet de comprendre le comportement d'un système, de prédire son évolution, et même d'optimiser certains processus. Imaginez que vous soyez un économiste qui analyse la croissance d'une entreprise, un ingénieur qui étudie la trajectoire d'un missile, ou même un biologiste qui modélise la population d'une espèce. Dans tous ces scénarios, savoir si une grandeur augmente, diminue ou atteint un pic est crucial. Par exemple, si vous étudiez les bénéfices d'une entreprise modélisés par une fonction, connaître ses variations vous indiquera quand les bénéfices augmentent (périodes de croissance), quand ils diminuent (périodes de récession), et surtout, quand ils atteignent un maximum (le point d'optimisation idéal). Pour notre fonction f(x) = 6 / (4x² + 4), même si elle n'a pas d'application directe évidente, elle sert de formidable terrain de jeu pour aiguiser nos compétences analytiques. Elle nous permet de pratiquer les techniques de dérivation et d'interprétation des signes, qui sont transférables à des problèmes beaucoup plus complexes et concrets. Comprendre le sens de variation nous aide également à esquisser le graphique d'une fonction avec une précision étonnante, sans même avoir besoin d'une calculatrice graphique. On peut identifier les sommets et les creux (les extrémums locaux), ce qui est vital pour la modélisation. En fin de compte, maîtriser les variations, c'est comme avoir une carte routière détaillée du paysage d'une fonction, vous indiquant toutes les montées, les descentes et les points de vue panoramiques. C'est une brique fondamentale pour toute exploration mathématique future, et une compétence qui vous distinguera dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. La clarté et la rigueur dans cette approche sont donc des atouts majeurs, et c'est exactement ce que nous allons cultiver ensemble à travers l'analyse de cette fonction spécifique.

Plongée au cœur de f(x) = 6 / (4x² + 4) : Définition et Premières Observations

Alors, les copains, avant de foncer tête baissée dans les calculs de dérivées, prenons un moment pour faire connaissance avec notre fonction du jour : f(x) = 6 / (4x² + 4). C'est un peu comme avant un voyage, on regarde la carte pour voir où on va ! La première chose à faire est de déterminer son domaine de définition. C'est super important parce que ça nous dit pour quelles valeurs de x notre fonction existe et est bien définie. Ici, nous avons une fonction rationnelle, c'est-à-dire une fraction. La seule chose qui pourrait poser problème dans une fraction, c'est si le dénominateur devient égal à zéro. Si le dénominateur est nul, la fonction n'est pas définie à cet endroit (division par zéro, vous savez, c'est le grand interdit en maths !). Regardons notre dénominateur : 4x² + 4. Est-ce que cette expression peut être égale à zéro ? Analysons-la. On sait que x² est toujours positif ou nul, peu importe la valeur de x (un nombre élevé au carré est toujours positif, même si x est négatif, par exemple (-2)² = 4). Donc, 4x² sera toujours positif ou nul. Si on ajoute 4 à un nombre qui est déjà positif ou nul (4x²), le résultat sera toujours strictement positif. Autrement dit, 4x² + 4 sera toujours supérieur ou égal à 4, et donc jamais égal à zéro. Génial, non ? Cela signifie que notre fonction f(x) est définie pour absolument toutes les valeurs réelles de x. Son ensemble de définition est donc ℝ (l'ensemble de tous les nombres réels), ce qui nous simplifie déjà pas mal la vie, car on n'aura pas de points d'interdiction à gérer. En plus de ça, on peut déjà faire quelques observations super utiles. Le numérateur, 6, est positif. Le dénominateur, 4x² + 4, comme on vient de le voir, est toujours positif. Par conséquent, notre fonction f(x) sera toujours positive pour toutes les valeurs de x. La courbe représentative de f sera donc toujours au-dessus de l'axe des abscisses. Une autre observation intéressante concerne la symétrie. Regardons ce qui se passe si on remplace x par -x dans la fonction : f(-x) = 6 / (4(-x)² + 4) = 6 / (4x² + 4). Tiens, tiens ! On trouve que f(-x) = f(x). Cela veut dire que notre fonction est une fonction paire. Et qu'est-ce que ça implique pour le graphique ? Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe y) ! Ça, c'est une information en or, car si on étudie les variations sur l'intervalle [0, +∞), on pourra facilement déduire le comportement sur l'intervalle (-∞, 0] grâce à cette symétrie. On a déjà une bonne base pour l'analyse, n'est-ce pas ? Ces premières étapes, souvent négligées, sont en fait des piliers pour une compréhension profonde de la fonction et pour valider nos futurs calculs. Elles nous donnent des indices précieux sur la forme générale de la courbe avant même de toucher à la dérivée. C'est une manière d'être malin et de travailler plus intelligemment !

Le Cœur de l'Action : Calcul de la Dérivée f'(x)

Bon les matheux, on arrive au moment clé de notre étude des variations : le calcul de la dérivée de la fonction f(x). C'est notre baguette magique pour savoir si une fonction monte ou descend. Pour rappel, la dérivée en un point nous donne la pente de la tangente à la courbe à ce point. Si la pente est positive, la fonction est croissante ; si elle est négative, elle est décroissante. Simple comme bonjour, non ? Notre fonction f(x) = 6 / (4x² + 4) est de la forme u/v, où u est une fonction et v en est une autre. Pour dériver une telle fonction, on utilise la fameuse formule de dérivation d'un quotient : (u/v)' = (u'v - uv') / v². Ne paniquez pas, on va le faire pas à pas. Identifions d'abord u et v et leurs dérivées respectives :

Le numérateur : Soit u(x) = 6. C'est une constante. La dérivée d'une constante est toujours zéro. Donc, u'(x) = 0.
Le dénominateur : Soit v(x) = 4x² + 4. Pour dériver v(x), on utilise la règle de dérivation des puissances (* (x^n)' = nx^(n-1)* ) et la règle pour les constantes. La dérivée de 4x² est 4 * 2x = 8x. La dérivée de 4 (qui est une constante) est zéro. Donc, v'(x) = 8x.

Maintenant que nous avons tous nos ingrédients, appliquons la formule du quotient pour trouver f'(x), la dérivée de f(x) :

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

Substituons avec les valeurs que nous venons de trouver :

f'(x) = (0 * (4x² + 4) - 6 * (8x)) / (4x² + 4)²

Simplifions cette expression. Le premier terme au numérateur, 0 * (4x² + 4), devient simplement 0. Il nous reste :

f'(x) = (0 - 48x) / (4x² + 4)²

Ce qui nous donne :

f'(x) = -48x / (4x² + 4)²

Voilà ! Nous avons notre dérivée ! C'est le résultat de notre calcul, et il est crucial. Gardez-le précieusement, car la prochaine étape est d'analyser son signe pour découvrir le sens de variation de la fonction f. N'est-ce pas excitant ? Le processus de dérivation, bien qu'il puisse sembler intimidant au début avec toutes ces règles, devient fluide avec de la pratique. L'important est d'être méthodique et de ne pas sauter d'étapes. Chaque petit morceau du puzzle contribue à la solution finale. Alors, félicitations, vous avez franchi une étape majeure dans la maîtrise de la fonction f(x) = 6 / (4x² + 4) ! Maintenant que nous avons cette dérivée, on va pouvoir l'utiliser pour dévoiler les secrets de la fonction.

Décryptage du Signe de la Dérivée f'(x) : Le Secret des Variations

Ok les champions, on a calculé notre dérivée : f'(x) = -48x / (4x² + 4)². C'est une étape monumentale ! Mais le travail n'est pas terminé. Maintenant, il faut analyser le signe de cette dérivée pour enfin déterminer le sens de variation de f(x). Souvenez-vous du principe d'or :

Si f'(x) > 0, alors la fonction f est strictement croissante.
Si f'(x) < 0, alors la fonction f est strictement décroissante.
Si f'(x) = 0, alors la fonction f atteint un extremum local (maximum ou minimum) ou un point d'inflexion.

Pour analyser le signe de f'(x) = -48x / (4x² + 4)², nous allons étudier séparément le signe du numérateur et celui du dénominateur. C'est la méthode la plus efficace et la plus rigoureuse.

Le signe du dénominateur : (4x² + 4)² Revenons à ce qu'on a dit au début. On sait que x² est toujours positif ou nul (x² ≥ 0). Par conséquent, 4x² est aussi toujours positif ou nul (4x² ≥ 0). Si on ajoute 4 à un nombre positif ou nul, le résultat sera forcément strictement positif (4x² + 4 ≥ 4). Et quand on élève un nombre strictement positif au carré, le résultat reste strictement positif. Donc, le dénominateur (4x² + 4)² est toujours strictement positif pour tout x appartenant à ℝ. C'est une excellente nouvelle, car cela signifie que le signe de notre dérivée f'(x) dépendra uniquement du signe du numérateur ! On a déjà simplifié grandement notre tâche, vous voyez ? C'est ça, la beauté de l'analyse, chaque observation nous aide à progresser.
Le signe du numérateur : -48x C'est la partie la plus simple. Le signe de -48x dépend directement du signe de x :
- Si x > 0 (c'est-à-dire pour les valeurs positives de x), alors -48x sera négatif. Par exemple, si x=1, -48x = -48. Si x=10, -48x = -480. Plus x est grand et positif, plus -48x est petit et négatif. Donc, pour x ∈ (0, +∞), le numérateur est négatif.
- Si x < 0 (c'est-à-dire pour les valeurs négatives de x), alors -48x sera positif. Par exemple, si x=-1, -48x = 48. Si x=-10, -48x = 480. Plus x est petit et négatif (loin de zéro dans les négatifs), plus -48x est grand et positif. Donc, pour x ∈ (-∞, 0), le numérateur est positif.
- Si x = 0, alors -48x = -48 * 0 = 0. C'est le point où la dérivée s'annule.

Maintenant, combinons ces informations pour le signe de f'(x) :

Pour x < 0 : Le numérateur -48x est positif, et le dénominateur (4x² + 4)² est positif. Donc, f'(x) = (positif) / (positif), ce qui signifie f'(x) > 0.
Pour x > 0 : Le numérateur -48x est négatif, et le dénominateur (4x² + 4)² est positif. Donc, f'(x) = (négatif) / (positif), ce qui signifie f'(x) < 0.
Pour x = 0 : Le numérateur -48x est nul. Donc, f'(x) = 0 / (4x² + 4)² = 0.

Voilà, le mystère est levé ! Nous avons clairement établi le signe de la dérivée f'(x). Cette analyse détaillée nous permet de passer à la prochaine étape, qui est de déduire le sens de variation de la fonction f(x) et de construire son tableau de variation. Vous voyez comme tout s'emboîte logiquement ? C'est incroyablement satisfaisant de voir les maths se révéler de cette manière.

Déduction des Variations et Construction du Tableau de Variation

Félicitations, vous avez fait le plus gros du travail en analysant le signe de f'(x) ! Maintenant, c'est le moment de la récolte, on va déduire le sens de variation de notre fonction f(x) et synthétiser tout ça dans un magnifique tableau de variation. Ce tableau est un outil essentiel qui résume le comportement de la fonction de manière claire et concise. Il regroupe l'intervalle de définition, le signe de la dérivée, et la direction de la fonction (croissante ou décroissante), ainsi que ses valeurs aux points remarquables.

Reprenons nos conclusions sur le signe de f'(x) :

Sur l'intervalle ]-∞, 0[ : On a trouvé que f'(x) > 0. Si la dérivée est strictement positive, cela signifie que la fonction f(x) est strictement croissante sur cet intervalle. Elle ne fait que monter, les amis !
Au point x = 0 : On a vu que f'(x) = 0. C'est un point où la tangente à la courbe est horizontale. Cela indique généralement un extremum local (un pic ou un creux). Puisque la fonction passe de croissante à décroissante, on anticipe un maximum local.
Sur l'intervalle ]0, +∞[ : On a déterminé que f'(x) < 0. Si la dérivée est strictement négative, cela veut dire que la fonction f(x) est strictement décroissante sur cet intervalle. Elle ne fait que descendre, là !

Maintenant, calculons la valeur de la fonction à ces points clés, notamment là où la dérivée s'annule, pour trouver les extremums. Pour x = 0, calculons f(0) :

f(0) = 6 / (4(0)² + 4) = 6 / (0 + 4) = 6 / 4 = 3/2.

Donc, au point x = 0, la fonction atteint la valeur 3/2. Puisque la fonction était croissante avant x=0 et devient décroissante après x=0, le point (0, 3/2) est un maximum local (et même un maximum global, comme on va le voir avec les limites).

Pour avoir un tableau de variation complet et précis, il nous faut aussi calculer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition, c'est-à-dire en -∞ et en +∞. C'est crucial pour savoir